izanami で、KaTeX 数式がどのように表示されるか

基本的な代数

次の方程式は2次方程式と呼ばれ、実数解を持つ場合、解の公式によって解くことができます。

$$ax^2 + bx + c = 0$$

解の公式は次のように表されます。

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

微積分

関数 $f(x)$ の導関数は次のように定義されます。

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

積分については次のように定義されます。

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

行列

2×2行列の積は次のように計算されます。

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix}$$

ベクトル

ベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ の内積は次のように計算されます。

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta$$

また、外積は次のように表されます。

$$\vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin\theta \, \hat{n}$$

物理の数式

ニュートンの運動の第2法則は次のように表されます。

$$F = ma$$

ここで、$F$ は力、$m$ は質量、$a$ は加速度です。

また、運動エネルギーは次のように定義されます。

$$E_k = \frac{1}{2} mv^2$$

ポテンシャルエネルギーは次のように表されます。

$$E_p = mgh$$

統計の数式

正規分布の確率密度関数は次のように表されます。

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

ここで、$\mu$ は平均、$\sigma$ は標準偏差です。

標本平均 $\bar{x}$ は次のように計算されます。

$$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$

フーリエ変換

関数 $f(t)$ のフーリエ変換は次のように表されます。

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$

逆フーリエ変換は次のように定義されます。

$$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega$$